Барьер сложности. Японский ученый совершил революцию в математике

Сергей Добрынин

В конце августа 2012 года японский математик Синичи Мочидзуки выложил на свою страницу в интернете четыре научные статьи. Их не сразу заметили, потому что не особенно ждали: без предварительных пресс-релизов, навязчивых анонсов и громких выступлений Мочидзуки опубликовал результат многолетнего самоотверженного труда, которому, вероятно, суждено совершить революцию в современной математике. Проблема лишь в том, что теорию Мочидзуки не торопится принимать научное сообщество – ее почти никто не может понять.

За десять лет до этого российский ученый Григорий Перельман точно так же в интернете и без лишнего шума разместил свои работы – правда, их было три, а не четыре, и появились в сети они не в один день, а на протяжении нескольких месяцев. В статьях Перельмана содержалось доказательство знаменитой гипотезы Пуанкаре, которая не поддавалась математикам на протяжении 102 лет. Работы Мочидзуки тоже содержат решение математической задачи, которая три десятилетия оставалась не по зубам всем, кто бы ни пробовал за нее взяться. Используя построенную им совершенно новую теорию, которую он назвал Inter-universal Teichmuller theory (сокращенно IUTeich), Мочидзуки доказал, что верна так называемая ABC-гипотеза.

В историях Перельмана и Мочидзуки вообще есть много общего: оба математика знамениты своим невероятным трудолюбием, оба никогда не подавали заявки на исследовательские гранты, оба трудились над своими opus magna много лет, оба работали в университетах США, но вернулись для решения главной задачи на родину, оба пользовались большим авторитетом в научном сообществе еще до объявления о доказательстве гипотез.

Но есть и много отличий. Григорий Перельман опирался в своей работе на достижения других математиков, ему первому удалось построить последний мостик, соединяющий уже сконструированную до него башню математических теорий с окончательным результатом. Основа рассуждений Перельмана была понятна многим исследователям, к проверке его доказательства приступили сразу же несколько групп ученых, и к середине 2006 года стало окончательно ясно, что в выкладках нет существенных ошибок, а значит, гипотеза Пуанкаре доказана. Мочидзуки же выстроил свою башню, начиная с самого фундамента. За 20 лет концентрированной и новаторской работы он создал собственный математический мир, никем доселе не виданный. Чтобы понять его идеи и методы, нужно следовать нетривиальному ходу мысли японца с самого начала. И сегодня – через два с лишним года после публикации статей – это удалось лишь четырем математикам в мире.

Григорий Перельман прославился далеко за пределами научного сообщества – во многом вопреки собственной воле и не только благодаря совершенному им научному прорыву, но и из-за отказа от премии в миллион долларов, полагавшейся Перельману как ученому, разобравшемуся с одной из так называемых "задач тысячелетия". Синичи Мочидзуки не только не добился мировой славы, но и остается непонятым абсолютным большинством коллег-математиков.

Трудолюбие

Синичи Мочидзуки родился в Токио 29 марта 1969 года. В пятилетнем возрасте он вместе с родителями переехал в Нью-Йорк. В 1985-м Мочидзуки окончил одну из самых престижных американских частных школ, Академию Филлипса в Эксетере. В том же году шестнадцатилетний, уже тогда очевидно одаренный японец поступил в Принстонский университет и всего семь лет спустя – молниеносно по академическим меркам – получил докторскую степень по математике. Почти сразу же Мочидзуки вернулся в Японию и начал работать в Исследовательском институте математических наук (RIMS) университета Киото. В 2002 году он получил в университете полную профессорскую позицию – и это в возрасте 33 года. Головокружительная карьера для ученого.

На этом крайне скупое и формальное резюме Мочидзуки заканчивается. В нем еще упомянуты несколько полученных математиком в 1997 и 2005 годах японских математически наград, а также семейный статус: "Холост (никогда не был женат)". Почерпнуть другие детали биографии ученого особенно неоткуда: он не общается с прессой (и это тоже роднит японца с Григорием Перельманом). Впрочем, кое-что о Мочидзуки известно от его коллег и друзей. Профессор Оксфордского университета Минйонг Ким, познакомившийся с японским математиком в начале 90-х в Принстоне, рассказал в интервью американской журналистке Кэролин Чен, что самой запоминающейся чертой японца было его невероятное трудолюбие: "Среди многих математиков, которых я встречал, его отличает невероятная способность просто сидеть и заниматься математикой – это может длиться долго, невероятно долго". Ким вспоминает, что нетривиальные работы французского математика Александра Гротендика, представляющие собой несколько тысяч страниц очень сложных рассуждений, отдельную математическую вселенную, Мочидзуки прочел от начала до конца подряд, практически не вставая из-за стола.

Вскоре после получения профессорской позиции в RIMS Синичи Мочидзуки с той же абсолютной сконцентрированностью приступил к созданию собственного математического мира. Это заняло у него следующие десять лет.

Сложные числа

Вряд ли есть в математике более привычный и одновременно сложный объект, чем целые числа. В изучающем их разделе математики, теории чисел, есть множество чрезвычайно трудных задач, формулировка которых при этом вполне доступна для понимания восьмикласснику. Одной из них была знаменитая Великая теорема Ферма, доказанная англичанином Эндрю Вайлзом только в 1994 году – через три с половиной века после того, как она была сформулирована Пьером Ферма. А вот всякое ли четное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел, по-прежнему неизвестно: эта гипотеза была предложена Кристианом Гольдбахом в 1742 году. Никому до сих пор не удалось доказать или опровергнуть "гипотезу о простых близнецах": что есть бесконечно много пар простых чисел, отличающихся друг от друга на два, как 3 и 5, 11 и 13, и так далее.

ABC-гипотеза стоит в одном ряду с гипотезой Гольдбаха, "гипотезой о простых близнецах" и Великой теоремой Ферма, хотя ее формулировка капельку сложнее (ее элементарный разбор можно прочитать, например, здесь). Грубо говоря, утверждение гипотезы устанавливает связь между алгебраическими свойствами составляющих число слагаемых и его множителей. Зато у ABC-гипотезы по сравнению с теоремой Ферма есть важное преимущество: если последняя – во многом красивый факт, повисший в воздухе, из которого нельзя вывести практически никаких существенных следствий, то доказательство ABC-гипотезы даст нам новое фундаментальное знание об устройстве чисел. В частности, из ABC-гипотезы, по-видимому, можно будет вывести и саму теорему Ферма.

Характерно, что открытые вопросы теории чисел, как правило, невероятно трудны; для их решения (в случае, если оно все же со временем находится) приходится применять технический аппарат из многих других разделов математики – можно вспомнить доказательство Вайлза, использовавшее инструментарий эллиптических кривых, локальных полей, алгебраической геометрии и комплексного анализа. Метод, которым Мочидзуки доказал ABC-гипотезу, новаторская теория IUTeich, оказался сложным настолько, что понять его до сих пор бессильны почти все математики мира.

Первая реакция

Через три дня после того, как Мочидзуки выложил тексты своих статей в интернет, 3 сентября 2012 года, в популярном блоге математика Джордана Элленберга появилась запись, с которой, по-видимому, новость о появлении возможного доказательства ABC-гипотезы и начала свое распространение в математическом сообществе. "Шин опубликовал свое доказательство abc-гипотезы, о котором ходило много слухов, – писал Элленберг. – Я пока не начал изучать его подход, но уже сейчас очевидно, что здесь использованы методы, лежащие далеко за пределами обычного для этой темы круга идей. Глядя на них, чувствуешь себя человеком, читающим статью, написанную в будущем или на другой планете".

Первые реакции математиков звучали примерно одинаково: "Кто-нибудь вообще понимает, что там написано?" Дело в том, что корпус текстов, которые даже профессиональный математик должен полностью разобрать, чтобы понять доказательство Мочидзуки, колоссален – сам японец оценивает его в 1500-2500 страниц. Профессор университета Ноттингема Иван Фесенко, хорошо знакомый с работами Мочидзуки, на собственном опыте оценивает время, которое может занять эта работа у подготовленного специалиста, в 250-500 часов крайне интенсивного труда.

Математика – не только строй знания, теоремы и формулы, но и сообщество со своими традициями и представлениями, в котором не очень-то принято переписывать самые устои науки, да еще в одиночку, да еще так, что никто не может разобраться в твоих идеях. Такие выбивающиеся из мейнстрима чудачества иногда встречаются, но редко воспринимаются всерьез научным сообществом. "Важно понимать, что [к доказательству Мочидзуки] относятся серьезно, потому что специалисты, разбирающиеся в вопросе, очень высокого мнения и о самом Мочидзуки, и о его предыдущих работах, – пишет авторитетный научный блогер физик Питер Войт. – Если бы какой-нибудь никому не известный аутсайдер стал утверждать, что в его статье содержится решение одной из больших открытых математических проблем, да еще и на основе какого-то странного нового мира математических объектов, вряд ли кто-то из экспертов стал бы тратить свое время на проверку этих заявлений".

Итак, репутация Мочидзуки указывала, что в его теории IUTeich нужно разбираться, вот только как это сделать?

"Паттерны сознания"

"...Самое существенное препятствие [к пониманию теории IUTeich] заключается не столько в необходимости воспринять новое знание, сколько в том, что исследователи, столкнувшиеся со сложностями при изучении IUTech, должны деактивировать паттерны сознания, содержащиеся в их мозгах и многие годы принимаемые как сами собой разумеющиеся, и начать все с чистого листа, то есть вернуться к мышлению, опирающемуся только лишь на примитивную логику, как это делает студент или неофит в данной теме".

Эти удивительные слова – цитата из отчета "о проверке IUTeich теории", уникального в своем роде документа, в котором Мочидзуки систематизировал, с одной стороны, информацию о собственных усилиях по объяснению своей теории другим исследователям, а с другой – их успехи на этом поприще. Из документа (он охватывает 2014 год) можно понять, что ученый действительно как мог старался популяризовать свои исследования. Он прочел две публичные лекции в японских университетах, а также провел многочасовые серии бесед с тремя учеными, которые сами проявили инициативу и желание шаг за шагом разобраться с IUTeich – Го Ямашитой, Юичиро Хоши из японского RIMS и Мохаммедом Саиди из британского университета Эксетера. Эту троицу Мочидзуки называет "ядром аппарата проверки" и утверждает, что каждый из них прочел все четыре статьи (причем Го Ямашита даже три раза) и убедился, что в теории нет значительных пробелов (все обнаруженные мелкие ошибки были по ходу дела исправлены).

Тем самым Мочидзуки считает, что "проверка IUTeich с точки зрения любых практических приложений закончена," впрочем, исходя из "важности теории и новизны технического аппарата может потребоваться еще немного времени, прежде чем верификация теории будет официально признана законченной". Немного времени – это сколько? Мочидзуки считает, что подождать придется лет десять.

С явным сожалением Мочидзуки отмечает, что в математическом сообществе, особенно за пределами Японии, существует антагонизм к самой идее тщательного разбора колоссальной и по объему и по сложности теории IUTeich: "Причина столь подозрительного несоответствия между негативным отношением сообщества и успешным опытом "ядра проверки" является абсолютной загадкой, которую мне еще предстоит разгадать", – сокрушается Мочидзуки в своем отчете.

В этих словах слышится нечто вроде обиды, и у автора есть на нее основания.

Чего математическое сообщество ждет от Мочидзуки? Японец должен совершить турне по крупнейшим университетам, прочитать в насколько возможно популярной форме лекции о своей теории, переписать в более доступном и привычном математикам виде свои статьи. Как птица, кормящая птенцов наполовину пережеванными ею семенами, он должен сделать из своей теории блюдо, которое легко усвоить и переварить. Такие ожидания красноречиво отражает, например, позиция бельгийского математика Ливена Ле Браюна:

– Если ты профессиональный математик, ты не можешь не понимать, что проверка доказательства – общая ответственность автора и математического сообщества. Мы все хоть раз получали от рецензентов замечания, что наши рассуждения "непрозрачны". Обычно в ответ на это ты переписываешь доказательство, стараясь сделать его абсолютно понятным. Мало кто вместо этого предложит рецензенту потратить пару лет на чтение всех твоих предыдущих работ [...] И Мочидзуки – как раз один из таких людей.

Действительно, Мочидзуки отклонил ряд предложений о чтении лекций в университетах США (впрочем, подобный курс занял бы минимум 70 часов). В свои работы он регулярно вносит исправления, но не меняет изложение по существу. Более того, в своем отчете математик пишет, что "познание истинной сути вещей" (к которому ведет его теория) требует "поддержания скромности в подходе" (нежелание разбираться с ней шаг за шагом, с самых азов – признак гордыни), желающие понять IUTeich должны обладать "безошибочно высоким уровнем мотивации", а если мотивация не так сильна, то лучше "отказаться от фактической реализации подобных намерений" (все-таки это написано японцем!).

Однако среди математиков находятся и те, кто считает, что Мочидзуки делает более чем достаточно для того, чтобы его теория была проверена, понята и принята состоятельной: "Я не встречал математика, который так много делает для объяснения своих работ. В частности, Мочидзуки потратил сотни часов своего времени, отвечая на вопросы Ямашиты, Саиди, Хоши, Тамагавы и мои вопросы. Он всегда пунктуально отвечает на e-mail. К сожалению, почти никто из математиков за пределами Японии не задает ему вопросы". Это слова из письма Ивана Фесенко, который уже в начале 2015 года, после публикации отчета Мочидзуки, закончил проверку его статей и стал четвертым в мире математиком, убедившимся в том, что доказательство Мочидзуки верно.

Но все же "официальное признание" IUTech зависит не только от позиции отдельных ученых, но и от общего мнения истеблишмента, который есть в математическом коммьюнити, как и в любом сообществе, иерархия которого основана не столько на текущих достижениях, сколько на репутации. "Есть множество людей, имеющих постоянные профессорские позиции, которые в принципе обладают всем, чего только можно пожелать, и не особенно нуждаются в новых публикациях, повышении цитируемости и так далее. Выяснилось, что в теории чисел немного таких профессоров, которым достает смелости и настойчивости, чтобы заняться изучением совершенно новых вещей, таких как работа Мочидзуки. Тем более если отказ от ее изучения не может повредить их карьере", – рассуждает Иван Фесенко.

Своими высказываниями о необходимости "деактивировать паттерны сознания", "сохранять скромный подход" и, грубо говоря, забыть все когда-либо узнанное и начать изучать его теорию от букваря, Мочидзуки делает все, чтобы настроить истеблишмент против себя, лишить его "безошибочно высокого уровня мотивации", который он сам считает так необходимым для проверки гипотезы.

"Математическое сообщество парализовано"

Теория Мочидзуки оказалась слишком крупным куском, чтобы его можно было легко проглотить, мельком прочитав основные формулировки и предоставив более тщательный анализ студентам и аспирантам. Мочидзуки и четверо математиков "ядра проверки" утверждают, что для понимания IUTeich даже специалист самого высокого уровня должен потратить несколько сотен часов. Может быть, так оно и есть – никакое "разжевывание" в этой ситуации невозможно? "Математическое сообщество просто парализовано, – замечает Фесенко,– так как мало кто находит мужество потратить большое количество времени, не менее 250 часов, на изучение его работы. Такого не было ни с работой Вайлза, ни с работой Перельмана".

Очевидно, проблема с теорией Мочидзуки лежит не столько в научной, сколько в социальной плоскости. "Математика в последнее время стала очень сложной. Человек тратит годы жизни, чтобы стать специалистами в какой-то узкой области. Вложив в это столько усилий, он получает колоссальный стимул в дальнейшем оставаться экспертом только в этой области, зато одним из немногих. Это приводит к узкой специализации и большому сопротивлению к изучению новых областей, в частности из-за естественного страха показать собственную слабость", – считает Иван Фесенко.

Какое будущее ждет теорию Мочидзуки? Иван Фесенко уверен, что она способна совершить революцию в математике, подобную той, что случилась благодаря построению теории Галуа, или даже перевороту в физике, который совершила квантовая механика. Многие пионерские исследования встречали большое сопротивление со стороны научного сообщества, привыкшего к классическим методам, но их научный потенциал, в конечном счете, оказывался сильнее социальной косности. В середине марта в Киото прошла 10-дневная конференция по работам Мочидзуки, в ней участвовали более 50 математиков, пятеро из которых, по свидетельству Ивана Фесенко, сумели глубоко проникнуть в теорию и скоро, видимо, пополнят "ядро проверки". И тогда в мире будет 10 человек, понимающих теорию IUTeich, включая ее автора.

Кто-то видит в Мочидзуки в первую очередь человека со странностями, почти социопата, не желающего прикладывать усилий к объяснению своей теории и независимой проверке доказательства. Кто-то, как пионер интернета Тед Нельсон, считает Мочидзуки гением и подозревает в нем таинственного изобретателя криптовалюты BitCoin. У Ивана Фесенко есть более лирическая интерпретация: "Человек становится поэтом, когда считает себя поэтом, ему даже не нужны читатели. Поэзия приходит часто сверху, поэт просто записывает. Мочидзуки говорил мне о чем-то похожем: он видит математические конструкции, и потом лишь остается их записать".

Оригинал публикации – на сайте Радио Свобода